LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "định lí krasnosel’skii về ánh xạ nén và giãn mặt nón và ứng dụng": http://123doc.vn/document/1051072-dinh-li-krasnosel-skii-ve-anh-xa-nen-va-gian-mat-non-va-ung-dung.htm
b)
nn nn nn nn
yx zx yx Nzxq Ê-Ê- -Ê -
c) Coi
{}
n
x tng v lim
k
n
k
xa
Ơ
=
vỡ
k
nn
xxÊ
( n c nh, k ln) nờn
*
,
n
xanÊ"ẻ
Cho
0e > , chn
0
k
k
n
xa
N
0
e
-<
thỡ ta cú
0
00
kk
knn n n
n n ax ax ax Nax e" -Ê- -Ê - <.
1.1.3. Nún chớnh qui.
nh ngha 1.1.3. Nún K gi l nún chớnh qui nu mi dóy tng v b chn trờn thỡ hi t.
Mnh 1.1.3. Nún chớnh qui l nún chun.
Chng minh mnh 1.1.3. Gi s K l nún chớnh qui nhng khụng l nún chun. Khi ú,
nn n n n n
nxyxyxny
*2
,: , q"ẻ $ Ê Ê >
t
nn
nn
nn
xy
uv
xx
, ==
thỡ
nnn n
uvu v
n
2
1
, 1,
q ÊÊ = <
Vỡ
1
n
n
v
Ơ
=
<Ơ
ồ
nờn tn ti
1
n
n
vv
Ơ
=
=
ồ
Dóy
12
nn
suu u=+++ tng v b chn trờn ( bi v ) nờn hi t.
Suy ra
lim
n
u q=
. Ta gp mõu thun.
Vớ d 1.1.1 Nún cỏc hm khụng õm trong
(1 )
p
LpÊ<Ơ l nún chớnh qui.
1.1.4. Nún sinh.
nh ngha 1.1.4. K gi l nún sinh nu
EKK=- hay
,:xEuvKx uv"ẻ $ ẻ = -
Vớ d 1.1.2.
1) Nún cỏc hm khụng õm trong (),
p
CK L l nún sinh.
2) Nu nún K cú im trong
0
u thỡ ta cú
rrxuxrxuxE
00
0: , $> - Ê Ê "ẻ v K l nún sinh
Chng minh. 2)
0
0: ( , )uB Krqr$> + è
. S
1
r
r
=
cn tỡm.
Ta cú
xxrxurxu
00
()=+ - .
Mnh 1.1.4. Nu K l nún sinh thỡ tn ti s M>0 sao cho
xEuvKx uvu Mx v Mx, , : , , "ẻ $ ẻ = - Ê Ê
Chng minh mnh 1.1.4. Ta cn chng minh ba iu sau:
Th nht, t
(,1) (,1)CKB KBqq=ầ -ầ , ta chng minh
0: ( , )rCBrq$> ẫ
Tht vy,
1n
EnC
Ơ
=
=
(do K l nún sinh)
nG
0
, $$ m :
0
nC Gẫ
(do nh lớ Baire)
Vỡ
C li, i xng nờn
00
11 1 1
22 2 2
CCCC G G
nn
ẫ- ẫ-
(m cha q )
Th hai, ta chng minh
r
BCB B ((,1))
2
qè=
.
Ly
2
r
aBẻ
Ta s xõy dng dóy
{}
n
x tha:
1
1
1
,
22
n
nk
nn
k
r
xCax
+
=
ẻ-<
ồ
Tht vy, vỡ
1
22
nn
r
BCè
nờn
nn
r
yB xCyx
1
, 0 :
22
ee"ẻ "> $ẻ - <
Ta cú:
11
2
1
:
22
2
rr
aB x Caxẻ $ẻ - <
12 12
22 3
1
:
22 2
rr
ax B x Cax x-ẻ $ẻ <
,
Vỡ
1
2
n
n
xCẻ nờn
nn n n n n n
n
uv K x u v u v
1
, : , ,
2
$ẻ =- Ê
t
nn
nn
uuvv
11
,
ƠƠ
==
==
ồồ
ta cú
auvu v, , 1=- Ê
. Vy aCẻ .
Th ba,
x q"ạ ta cú:
rx
uv
x
''
2
=-
vi uv K u v', ' , ' , ' 1ẻÊ
, , , ,xuvuvKuv Mx =- ẻ Ê
2
()M
r
=
.
1.1.5. Nún liờn hp.
Nu
K l nún thỡ ta nh ngha nún liờn hp ca K l:
**
{:()0 }KfEfx xK=ẻ "ẻ
K
*
cú cỏc tớnh cht i), ii) trong nh ngha nún
Cú th chng minh
E
KK KKE
*
**
(){}qầ- = -=.
Mnh 1.1.5.
xK fx fK
*
00
() 0, ẻ "ẻ
Chng minh mnh 1.1.5.
Gi s trỏi li nu
f
xfK
*
0
() 0, "ẻ
sao cho
0
xKẽ
Do nh lớ tỏch tp li
gEgx gy yK
*
0
:( ) (), $ẻ < "ẻ
C nh xKẻ , ta cú
gx gtx t
0
() (), 0<">.
Cho
t
ta cú
() 0gx
Vy
*
gKẻ , nhng
0
() 0gx < . Ta gp mõu thun.
Vy nh lớ c chng minh.
1.2. Ch s im bt ng ca ỏnh x dng.
Cho E l khụng gian Banach thc. Mt tp con XEè c gi l mt co rỳt ca E nu
tn ti mt ỏnh x liờn tc
:rE X
sao cho rx x x X() , =ẻ. Theo nh lớ ca Dugundji,
mi tp hp con khỏc rng, li, úng ca
E l mt co rỳt ca E. c bit, mi nún ca E l mt
co rỳt ca
E.
nh lớ 1.2.1.
Cho X l mt co rỳt ca khụng gian Banach thc E . Khi ú vi mi tp con m,
b chn tng i U ca X v mi toỏn t hon ton liờn tc
:AU X m nú khụng cú im
bt ng trờn
Uả , tn ti mt s nguyờn
(, , )iAUX
tha món cỏc iu kin sau:
(i) Tớnh chun tc: (, , ) 1iAUX = nu
0
Ax y Uẻ vi mi xUẻ .
(ii) Tớnh cng tớnh:
12
(, , ) (, , ) (, , )iAUX iAU X iAU X=+ vi bt kỡ U
1
v U
2
l hai tp
con m, ri nhau ca U sao cho A khụng cú im bt ng trờn
12
\( )UU Uẩ
.
(iii) Tớnh bt bin ng luõn:
((,),, )iHt U X c lp vi t (0 1)tÊÊ vi
bt kỡ
:[0,1]HUX hon ton liờn tc v (, )Htx xạ vi bt kỡ (, ) [0,1]tx Uẻả.
(iv) Tớnh khụng i:
(, , ) (, , )iAUX iAU YY=ầ nu Y l mt co rỳt ca X v ()AU Yè .
Hn na, t
{( , , ) |MAUX= X co rỳt ca E, U m, b chn trong X,
:AU X hon ton liờn tc v Ax xạ trờn Uả }
v t
l tp cỏc s nguyờn . Khi ú tn ti ỳng mt hm :dM Z tha món cỏc iu
kin t (i) n (iv). Núi cỏch khỏc,
(, , )iAUX c xỏc nh duy
nht,
(, , )iAUX c gi l ch s im bt ng ca A trờn U i vi X.
Chng minh nh lớ 1.2.1. Trc ht ta chng minh tớnh duy nht ca ch s im bt ng.
Cho
{( , , )}iAUX l mt tp hp bt kỡ tha món cỏc iu kin t (i) n (iv).
Ta nh ngha
(, , ) ( , , )dfUp iA pUE=+ (1.2.1)
trong ú
f
IA=-, U l tp m, b chn ca E, ()
f
xpạ trờn Uả , ngha l Ap+ khụng cú
im bt ng trờn
ảW. T iu kin (i)-(iv) v (1.2.1) d dng thy rng hm (, , )dfUp cú bn
tớnh cht tiờu biu ca bc Leray-Schauder. Do ú, theo tớnh duy nht ca bc Leray-Schauder,
ta cú
(, , ) deg( , , )dfUp I AUp=- (1.2.2)
Ly
p q= trong (1.2.1) v (1.2.2), ta c
(, , ) deg( , ,)iAUE I AUq=- (1.2.3)
Bõy gi, ta gi s rng
X
l mt co rỳt tựy ý ca E v c biu th bi
:rE X
l
mt s co rỳt tựy ý. Vi tp con m
U ca X , ta chn mt qu cu {| }
R
BxExR=ẻ < sao
cho
R
BUẫ
. Th thỡ, theo tớnh khụng i (iv) v (1.2.3), ta cú
11
(, , ) ( , (), ) deg( , (),)
RR
iAUX iA rB r U E I A rB r U q
= ầ=- ầ
. (1.2.4)
Do ú, t (1.2.4) v tớnh duy nht ca bc Leray-Schauder suy ra tớnh duy nht
ca ch s im bt ng.
Theo chng minh tớnh duy nht trờn chỳng ta a n nh ngha
R
iAUX I A rB r U
1
(, , ) deg( , (),)q
-
=- ầ (1.2.5)
trong ú
:rE X l s co rỳt tựy ý v {| }
R
BxExRU=ẻ < ẫ
Hin nhiờn,
1
()
R
BrU
-
ầ l mt tp m b chn ca E v
111
() () ()
R
BrUrUrU
ầèè (1.2.6)
D dng thy rng
xrUArx x xUAx x
1
000000
( ), ( ) ,
-
ẻ = ẻ=
(1.2.7)
Bõy gi, ta chng minh rng
(, , )iAUX nh ngha theo (1.2.5) khụng ph thuc vo vic chn
R v r . t
1
RR> . Vỡ
1
11
() ()
RR
UB rU B rU
èầ è ầ
Theo (1.2.7) ta bit rng
Ar khụng cú im bt ng trong
1
1
()\(
RR
BrUB
-
ầ
1
())rU
-
ầ v vỡ vy, theo tớnh cht ct ca bc Leray-Schauder
1
deg( , ( ), ) deg( , ( ), )
RR
IArB rU IArB rUqq
-
- ầ=- ầ
ngha l,
(, , )iAUX khụng ph thuc vo vic chn R .
K n , t
1
:rE X l mt s co rỳt khỏc ca E
v t
R
VBrUrU
11
1
() ()
=ầ ầ . Khi ú V l mt tp m b chn ca E v .VUẫ Theo
(1.2.7) ta bit rng
Ar khụng cú im bt ng trong
1
()\
R
BrUV
-
ầ
v
1
Ar khụng cú
im bt ng trong
1
1
()\
R
BrUV
-
ầ .
Do ú
1
deg( , ( ), ) deg( , , )
R
IArB rU IArVqq
-
- ầ=- (1.2.8)
V
1
11
deg( , ( ), ) deg( , , )
R
IArB rU IArVqq
-
- ầ=- (1.2.9)
t
(, ) (, )htx x Htx=- , trong ú
1
(, ) [ ( ) (1 ) ( )]Htx rtArx tAr x= +- .
Rừ rng,
:[0,1]HVE hon ton liờn tc.
Bõy gi ta chng minh
(, )ht Vq ẽả vi bt kỡ [0,1]t ẻ .
Tht vy, nu tn ti
0
[0,1]t ẻ v
0
xVẻả sao cho
00
(, )ht x q= , thỡ
00 0 010
[()(1)()]xrtArx tArx X= +- ẻ
Kt qu l,
rx x r x x
00100
() , ()==
v
00
xAx=
. V vỡ vy theo (1.2.7),
0
xUVẻè
. Mõu
thun vi
0
xVẻả .
Nh vy, s dng tớnh bt bin ng luõn ca bc Leray-Schauder v ý rng
11
(0, ) [ ( )] ( )Hx rArx Arx= = v (1, ) [ ( )] ( )Hx rArx Arx= = ,
Ta cú
1
deg( , , ) deg( , , )IArV IArVqq- =- (1.2.10)
T (1.2.8), (1.2.9) v (1.2.10) suy ra
RR
IArB rU IArB rU
11
11
deg( , ( ), ) deg( , ( ), )qq
- ầ=- ầ (1.2.11)
iu ú ch ra rng
(, , )iAUX khụng ph thuc vic chn r.
Cui cựng, theo cỏc tớnh cht c bn ca bc Leray-Schauder ta kim tra c rng ch s im
bt ng nh ngha bi (1.2.5) cú cỏc tớnh cht t (i) n (iv).
nh lớ 1.2.2. Bờn cnh cỏc tớnh cht t (i) n (iv), ch s im bt ng cũn cú nhng tớnh
cht sau:
v) Tớnh cht ct:
0
(,,) (, ,)iAUX iAU X= vi bt kỡ
0
U l mt tp con m ca U sao cho
A khụng cú im bt ng trong
0
\UU
.
vi) Tớnh cht nghim: nu
(, , ) 0iAUX ạ
thỡ A cú ớt nht mt im bt ng trong U.
Chng minh nh lớ 1.2.2. t
1
UU= v
2
U f= trong tớnh cht cng tớnh (ii) ta c
(,, ) 0iA Xf =
. T iu ny v t
10
UU= ,
2
U f= trong (ii), ta c
0
(,,) (, ,)iAUX iAU X= . Nh vy (v) c chng minh.
Nu
A khụng cú im bt ng trong U, t
0
U f= trong (v), ta c
(, , ) (,, ) 0iAUX iA Xf==
do ú (vi) c chng minh.
Chỳ ý rng khỏi nim ny ca ch s im bt ng cú th c m rng
ti nhng tp co nghiờm ngt v nhng ỏnh x cụ c nh sau:
Cho
X l mt tp li, úng, khỏc rng ca khụng gian Banach thc E v U
l mt tp con m ca
X. Cho toỏn t :AU X l mt tp k-co k(0 1)Ê<, m nú khụng cú
im bt ng trờn
Uả .
t
11
( ), ( ) ( 2,3,4, )
nn
DcoAUD coAD U n
-
==ầ=
(1.2.12)
Nu
n
DUfầ=
vi mt vi n thỡ ta nh ngha ch s im bt ng
(, , ) 0iAU X = (1.2.13)
Bõy gi, gi s
n
DUfầạ
vi n bt kỡ. Hin nhiờn,
( 1,2,3, )
n
DXnè=
Ta cú th chng minh rng tp hp
1
n
n
DDX
Ơ
=
=è
l khỏc rng, li, compact
v
DUầ khỏc rng v compact v hn na ()AD U Dầè.
Do ú, theo nh lớ m rng ỏnh x, tn ti mt toỏn t hon ton liờn tc
1
: ()AU D D X è
sao cho
1
Ax Ax= vi mi xDUẻầ. D dng thy rng
1
A khụng cú
im bt ng trờn Uả v do ú theo nh lớ 1.2.1, ch s im bt ng
1
(,,)iAU X hon ton
xỏc nh.
Bõy gi, ta nh ngha
11
(,,) (,,)iAU X iAU X= (1.2.14)
Khụng khú chng minh rng ch s im bt ng
iAUX(, , ) vi tp k-co (0 1)kÊ< nh
ngha bi (1.2.13) v (1.2.14) khụng ph thuc vo vic chn
1
A , v nh lớ 1.2.1 v 1.2.2 vn ỳng.
Bõy gi, cho tp
X li, úng, khỏc rng c ỏnh du sao, ngha l nu xXẻ thỡ
tx Xẻ vi mi [0,1]t ẻ . Cho U l mt tp con m ca X v
:AU X
l cụ c m khụng
cú im bt ng trờn
Uả . Chn mt tp co
nghiờm ngt
:BU X sao cho
Ax Bx x U, t-<"ẻ
trong ú
inf 0
xU
xAxt
ẻả
=->.
Nh th
B tn ti, chng hn chn BkA= , trong ú
01kÊ<
v 1 k- nh. Vỡ X c
ỏnh du,
B l ỏnh x t U vo X. iu ú d dng thy rng B khụng cú im bt ng trờn
Uả v do ú (, , )iBU X hon ton xỏc nh.
Bõy gi ta nh ngha
(,,) (,,).iAUX iBU X= (1.2.15)
D dng thy rng ch s im bt ng ca ỏnh x cụ c c nh ngha theo (1.2.15) khụng
ph thuc vi vic chn
B v vi iu ú nh lớ (1.2.1), (1.2.2) ỳng.
Trong phn sau, cho
K l mt nún ca khụng gian Banach thc E. Do ú K l mt co rỳt ca E,
v cng vỡ th
K l mt tp c ỏnh du sao, li, úng. Cho W l mt tp m b chn ca E ,
thỡ
K ầW l mt tp m b chn ca K v
() , KKKKảầW=ầảW ầW=ầW.
B 1.2.1.
Cho q ẻW v :AK KầW l cụ c. Gi s rng
, , 1Ax x x Kmmạ"ẻầảW (1.2.16)
Khi ú (, , ) 1.iAK KầW =
Chng minh b 1.2.1. t (, )Htx tAx= . Khi ú, :[0,1] ( )HKKầW liờn tc v tớnh
liờn tc ca
(, )Htx trong
t
thỡ u i vi xKẻầW.
Hin nhiờn,
(,):Ht K K ầW l cụ c vi mi [0,1]t ẻ v (, )Htx xạ vi
xKẻầảW v
01tÊÊ
.
Do ú, theo tớnh bt bin ng luõn v tớnh chun tc ca ch s im bt
ng, ta cú
(, , ) (, , ) 1. iAK K i K KqầW = ầW =
B 1.2.2.
Cho :AK KầW v
:BK KầảW
hon ton liờn tc.
Gi s rng
(a)
inf 0;
xK
Bx
ẻầảW
>
v
(b)
, , 0.xAx tBx xK t-ạ "ẻầảW
Khi ú, ta cú
(, , ) 0iAK KầW = (1.2.17)
Chng minh b 1.2.2. Theo nh lớ m rng ỏnh x ca Dugundji[1], ta cú th m rng
B
ti mt toỏn t hon ton liờn tc t
K ầW vo K sao cho
() ( )BK coBKầW è ầảW (1.2.18)
t
()FBK=ầảW, khi ú ()coB K coF MầảW = = , trong ú
nn
ii i i i
ii
My yyF n
11
{ | , 0, 1; 1, 2, 3, }.lll
==
== ẻ = =
ồồ
Trc ht ta chng minh
inf 0
yM
y
ẻ
> (1.2.19)
Biu th theo
0
E l khụng gian con ca
E
cú b rng bng
F
. Vỡ B l hon ton liờn tc, F thỡ
compact tng i, do ú
0
E tỏch c.
Hin nhiờn,
00
KKE=ầ l mt nún ca
0
E v
00
, FKcoFKèè
, tn ti
*
00
f
Eẻ sao
cho
0
() 0
f
y > vi bt kỡ
0
yKẻ vi
y qạ
. Ta khng nh rng
0
inf ( ) 0
yF
f
y s
ẻ
=> (1.2.20)
Tht vy, nu
0s =
thỡ tn ti {}
k
yFè sao cho
0
() 0.
k
f
y Theo tớnh
compact tng i ca F, cú mt dóy con
{}
i
k
y
ca {}
k
y sao cho
i
k
yyK
00
ẻ
. Vỡ vy
000
() ()
i
k
f
yfy
v
00
() 0
f
y =
.
Do ú,
0
y q= v 0
i
k
y , iu ny mõu thun vi gi thit (a).
Vy (1.2.20) ỳng.
Vi bt kỡ
1
n
ii
i
yyMl
=
=ẻ
ồ
trong ú
, 0
ii
yFlẻ
v
1
1
n
i
i
l
=
=
ồ
.
Ta cú theo (1.2.20)
nn
ii i
ii
fy fy
00
11
() ( ) ,llss
==
==
ồồ
Do ú
0
() , .
f
yyMs"ẻ
(1.2.21)
Vỡ
McoF= l compact nờn tn ti mt
0
zMẻ
sao cho
0
inf
yM
yz
ẻ
= (1.2.22)
Theo (1.2.21),
00
()
f
z s , v iu ny suy ra rng
0
z qạ . Do ú t (1.2.22) suy ra (1.2.19)
ỳng.
Theo (1.2.18) v (1.2.19) ta c
inf 0
xK
Bx a
ẻầW
=> (1.2.23)
Bõy gi, d dng ch ra rng (1.2.17) ỳng. Tht vy, nu
(, , ) 0iAK KầW ạ
thỡ theo gi thit
(b) v tớnh bt bin ng luõn ca ch s im bt ng, ta cú
(,,)(,,)0, 0.iA tBK K iAK K t+ầW= ầWạ">
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét